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By Dirk Ferus

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0 gibt, so dass (v) p ∈ R heißt ein Randpunkt von D ⊂ K, wenn p weder innerer Punkt von D noch von K\D ist. Beispiel 103. Die offene Kreisscheibe Ur (z0 ) = {z ∈ C | |z − z0 | < r} um z0 vom Radius r > 0 ist offen im Sinne dieser Definition. Beweis. h. |z1 − z0 | < r. Dann ist := r − |z1 − z0 | > 0 und f¨ ur z ∈ U (z1 ) gilt |z − z0 | ≤ |z − z1 | + |z1 − z0 | < + |z1 − z0 | = r Also ist U (z1 ) ⊂ Ur (z0 ). Beispiel 104. Ebenso zeigt man, dass offene Intervalle in R auch im Sinne dieser Definition offen sind.

Man schreibt M = sup A. (iii) Entsprechend definiert man untere Schranke und das Infimum inf A von A. (iv) Ist sup A ∈ A, so nennt man sup A auch das Maximum von A, geschrieben max A. (v) Entsprechend definiert man das Minimum von A. (vi) A heißt nach oben (unten) beschr¨ ankt, wenn es eine obere (untere) Schranke besitzt. Ist A = ∅, so ist jede reelle Zahl eine obere und untere Schranke f¨ ur A. Das f¨ uhrt zu der Konvention, dass man sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞ schreibt. Ist andrerseits A nach oben bzw.

Iii) F¨ ur jede Folge (xn ) in D gilt lim xn = p =⇒ lim f (xn ) = f (p). n→∞ n→∞ (iv) lim f (x) = f (p). x→p Beweis. Folgt aus den ¨ aquivalenten Formulierungen f¨ ur Grenzwerte von Funktionen. 63 Beispiel 118. Konstante Abbildungen sind stetig. Die identische Abbildung id : D → D, x→x f : C → C, z → |z| ist stetig. Beispiel 119. Die Abbildung ist stetig. Dasselbe gilt f¨ ur die reelle Funktion R → R, x → |x|. Beweis. Wir zeigen die Stetigkeit in einem beliebigen Punkt z0 ∈ C. F¨ ur alle z ∈ C gilt nach dem Korollar 9, das genauso wie im reellen Fall auch im komplexen Fall aus der Dreiecksungleichung folgt, |f (z) − f (z0 )| = ||z| − |z0 || ≤ |z − z0 |.

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by John

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